sábado, 23 de junio de 2007

Acertijos 1


1. (Nov. 7, 1997) Demuestra que para cualesquiera 6 puntos del plano, la razón entre la distancia más grande entre cualquier par de puntos y la más corta es por lo menos la raíz cuadrada de 3.

2. (Nov. 14, 1997) 50 pulgas y 50 pulgos estan ubicados en el plano en posición general (no se encuentran 3 sobre la misma línea recta). Demuestra que es posible trazar 50 segmentos rectos, cada segmento conectando una pulga con un pulgo, tal que ningún par de los segmentos se intersecta.

3. (Nov. 24, 1997) Sobre la circunferencia de un círculo se marcan 100 puntos y se trazan todos los segmentos entre pares de puntos (cuerdas). ¿Cuántos puntos de intersección se forman dentro del círculo, suponiendo que los puntos estan en "posición general" (no hay intersecciones triples)?

4. (Dic. 1, 1997) ¿Cuántas veces aparece el dígito 9 en la lista de los números 1, 2, 3, . . . , 1998 ?

5. (Dic. 8, 1997) Se encuentran 4 líneas rectas en el plano con 6 puntos de intersección. Sobre cada línea camina una hormiga con velocidad constante (posiblamente con distintas velocidades en distintas líneas). Se sabe que en 5 de los 6 puntos de intersección las dos hormigas correspondientes a las 2 líneas coincidieron al momento de cruzar la intersección. Demuestra que también hubo coincidencia en la sexta intersección.

6. (Mar. 10, 1998) Pintamos el plano con dos colores. Demuestra que no importa como lo pintamos,
a) existen en el plano dos puntos del mismo color separdos por una distancia de 17 kilómetros;
b) existen en el plano tres puntos del mismo color que forman los vértices de un triángulo rectángulo.

7. (Mar. 24, 1998) Sean a, b dos enteros no negativos tales que la razón (a2+b2)/(1 +ab) es un número entero. Demuestra que esta razón es de hecho el cuadrado de un entero.

8. (Apr. 30, 1998)

a) En una piñata hay 400 dulces. ¿De cuántas maneras se puede distribuir el contenido de la piñata entre 100 niños?

b) En una piñata hay 100 chicles, 100 nueces, 100 globos y 100 dulces. ¿De cuántas maneras se puede distribuir el contenido de la piñata entre 100 niños?

9. (Mayo 8, 1998) En una pelota sólida de madera se hizo un agujero cilíndrico (pasando por el centro) que mide 10cm de longitud. Encuentra el volumen de la madera que quedó.

10. (Junio 19, 1998) Demuestra que existe una infinidad de tripletas de enteros (a,b,c) que satisfacen a2+b2=c2, y tales que a,b,c no tienen un factor común mayor que 1. (Por ejemplo: 32+ 42=52.)

11. (Junio 25, 1998) La distancia entre la ciudad de Guanajuato y Celaya es 100 kilómetros. Tu misión es llevar una carga de 1000 kilógramos de alfalfa de Guanajuato a Celaya con tu burrito, pero tienes dos problemas:

1. tu burrito no camina a menos que esté comiendo todo el tiempo, 1 kilógramo de alfalfa por cada kilómetro que camina;

2. tu burrito puede cargar un máximo de 100 kilógramos.

Ahora la pregunta es si puedes llevar alguna cantidad (distinta de cero...) de alfalfa de la ciudad de Guanajuato a Celaya, y en caso que sí, ¿cuál es dicha cantidad máxima?

12. (Julio 3, 1998) Tienes 9 anillos que parecen identicos, pero 6 son de latón y 3 son de oro (más pesado que el latón). ¿Puedes averiguar cuáles son los de oro, usando una balanza no más que 3 veces?

13. (Julio 15, 1998) Demuestra que 232 + 1 no es un número primo.

14. (Julio 26, 1998) Pepito estaba sospechando desde hace timepo que está sufriendo de la rarísima y terrible enfermedad llamada Barbanorexia Picuda. Entonces hizo un exámen de sangre y salió positivo. Se espantó y fue a buscar más información en la internet. Resulta que 0.01% de la población (uno en 10 mil) tiene esta enfremedad, pero resulta también que el exámen que hizo no es 100% confiable, sino que tiene 1% de probabilidades de ser "falso positivo" (o sea, hay una probabilidad de 1 en 100 que a alguien sin la enfermedad la prueba le indique que está enfermo), y 1% de chance de "falso negativo". Pepito se depremió mucho hasta que se sentó a calcular probablididades....

La pregunta entonces es: ¿Cuál es la probabilidad de que Pepito esté sano (o sea, que no tenga la Barbanorexia Picuda)?

15. (Sept 3, 1998)

1. Encuentra los últimos dos dígitos de 21998.

2. Encuentra los últimos tres dígitos de 21998.

3. Encuentra los últimos cinco dígitos de 21998.

16. (Oct 26, 1998) Encuentra la figura en el plano con area maximal que se puede formar con 12 barras de longitud 1 metro cada una.

17. (Nov. 6, 1998) Pepito debe encontrar de tarea la raíz cúbica de un número de seis dígitos. Al llegar a su casa se dió cuenta que por accidente las cifras segunda y tercera de derecha a izquierda eran ilegibles, pero sabe que la raíz debe ser un número entero. ¿Puede Pepito resolver su tarea? En caso afirmativo ¿Cómo?

18. (Dic. 17, 1998) Dada una lista de intervalos I1, . . . , In, con la propiedad que cada dos intervalos de la lista tienen un punto en comun, demuestra que todos los intervalos tienen un punto en comun.

19. (Ene. 19, 1999) Dada una lista de conjuntos convexos en el plano (ver definición al final del problema) K1, . . . , Kn, con la propiedad que cada tres conjuntos de la lista tienen un punto en común, demuestra que todos los conjuntos tienen un punto en común.
(Definición: Un conjunto en el plano se llama convexo, si para qualesquiera dos puntos del conjunto el segmento que los conecta también está en el conjunto. Por ejemplo, un disco en el plano es un conjunto convexo, pero su circunferencia no lo es.)

20. (Abr. 19, 1999) Sobre una mesa están ubicadas algunas esferas blancas, todas de igual tamaño. Se pinta en negro la parte de la superficie de cada una de las esferas que no es visible desde ningún punto de las otras esferas. Demuestra que el área total pintada en negro es igual al área de la superficie de una de las esferas.

21. (Oct. 5, 1999) Un conjunto finito de puntos en el plano tiene la propiedad que para cualquier par de puntos del conjunto, se encuentra sobre la linea generada por ellos un tercer punto del conjunto. Demuestra que todos los puntos del conjunto se encuentran sobre una sola linea.

22. (Oct. 21, 1999) Te enseño tres puertas, digamos A, B y C. Te digo que atras de una de ellas esta un coche, atras de las otras dos chivas. Te doy una chance de escoger una puerta, abrirla, y te doy lo que tiene atras. Digamos que escogiste la A. Antes de abrir la A te abro una de las puertas que no escogiste, digamos B, y te enseño una chiva a tras de ella. Ahora te digo que antes de abrirte la puerta que elegiste (la A) te doy la opción de cambiarla a la C. La pregunta es: suponiendo que prefieres un coche que chiva y crees a todo lo que te digo, ¿que te conviene hacer, quedarte con la A, cambiar a C, o no importa?

23. (Oct. 26, 1999) Considera la sucesión 2,4,8,1,3,6,1,... (son las primeras cifras de la sucesión de potencias de 2: 2,4,8,16,32,...).

(a) ¿Aparece en esta sucesión el número 7?

(b) En caso que si, ¿que aparece "mas", 7 ó 8?
(Esto quiere decir lo siguiente: consideramos en cada segmento finito de la sucesión la razon entre el número de veces que aparece 7 en este segmento y el número total de elementos en este segmento. Luego tomamos segmentos cada vez mas grandes, siempre calculando esta razon, y finalmente, dejando al número de elementos en el segmento ir al infinito, tomamos el limite de la razon, o el limite superior en caso que este limite no existe. A este limite llamamos "la proporcion de 7 en la sucesion". La pregunta es entonces, si la proporcion de 7 en la sucesion es mas grande que la de 8 o vice versa o son iguales.)

(c) Existe una potencia de 2 que empieza con las cifras 1999... ?

24. (Nov. 13, 1999) Sea X el conjunto de todos los numeros enteros de la forma pq, donde p y q son dos primos distintos. Sea A cualquier subconjunto de X y B su complemento (en X). Demuestra que existe un conjunto infinito P de numeros primos tal que todos los numeros pq, con p y q (distintos) en P, estan en A, o todos estan en B.

25. Se lanza una moneda hasta que sale sol. ¿Cuantas veces se lanza la moneda (en promedio)?

26. (Oct. 19, 2000) Tenemos una linea de 1000 focos y 1000 sapos. Si un sapo brinca sobre un foco prendido, el foco se apaga, si brinca sobre un foco apagado el foco se prende. Incialmente, todos los focos estan PRENDIDOS. Ahora:

o El primer sapo brinca sobre todos los focos.

o El segundo sapo brinca solamente sobre cada segundo foco, o sea, sobre focos no. 2, 4, 6, ...

o El tercer sapo brinca sobre cada tercer foco, o sea, sobre focos no. 3, 6, 9,...

o El cuarto sapo brinca sobre cada cuarto foco, o sea, sobre focos no. 4, 8, 12,...

.

.

. (etc)

o El milesimo sapo brinca sobre foco no. 1000.

La pregunta es: ¿ Cuantos focos quedan prendidos?

27. (Oct. 19, 2000) Cinco piratas quieren repartir entre sí 1000 monedas. Los cinco estan ordenados: num. 1 (el mas grande), num. 2, . . ., hasta num. 5 (el mas chico). Deciden que el pirata mas chico (num. 5) empieze por sugerir un esquema para repartir el dinero (una serie de 5 enteros no negativos que sumen 1000, las cantidades de monedas que reciba cada uno de ellos). Despues de oir su sugerencia van a votar (todos los 5). Si una mayoría de los 5 (3 o mas) acepte la sugerencia, reparten las monedas según la sugrencia de num. 5; si no, matan al pirata num. 5 y dejan al pirata num. 4 sugerir un esquema para repartir las monedas entre los 4 que quedan. Si una mayoria de los 4 (3 o mas) acepten la sugerencia, repartan las monedas según la sugerencia; si no, matan al num. 4... Y así siguen hasta que se repartan las monedas.

Ahora, suponiendo que las prioridades de cada uno de los 5 piratas son (en este orden)

o vivir,

o ganar dinero,

o matar a sus compañeros (o sea, entre que viva o muera uno de sus compañeros, prefiere que muera, pero solo si esto no implica que él mismo se muera o que pierda dinero),

y que cada uno de los piratas es un ser racional... ¿que va a sugerir el pirarta num. 5?

28. (Nov. 28, 2000, por Francisco Javier, franciscogi@yahoo.com). ¿Cuantos números enteros dividen a 20! ?

29. (feb. 25, 2002, por Jorge Vallejo, jivallejop@hotmail.com).

Tres presos, en tres celdas separadas, pueden ser libres si adivinan el número de árboles del patio de su prisión, sabiendo que este número puede ser 2, 5 o 9. El primer preso puede ver solo medio patio, el segundo la otra mitad y el tercero es ciego. Cada mañana se les pregunta si tienen la respuesta. Si uno da una respuesta correcta sale libre inmediatamente; si es incorrecta se muere. De todos modos, los demas presos se enteran si alguien atrevio a responder o no. Los dias pasan y nadie responde. Al séptimo día los tres salen libres.

¿Cuantos árboles había en el patio de la prisión?




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